スタビライザー状態とクリフォードゲートって何？【量子計算】

Oct. 6, 2023, 4:04 p.m. edited Oct. 7, 2023, 2 a.m.

#量子情報  #量子力学 

$$ \def\bra#1{\mathinner{\left\langle{#1}\right|}} \def\ket#1{\mathinner{\left|{#1}\right\rangle}} \def\braket#1#2{\mathinner{\left\langle{#1}\middle|#2\right\rangle}} $$

スタビライザー状態

パウリ演算子の積で安定化される状態

例１） \(Z\) の場合。 \(Z\ket{0}=\ket{0}\) のように \(Z\) について \(\ket{0}\) は固有値 \(+1\) を持つ固有状態、つまり安定化されている。

例２） \(X\) の場合。 \(X\ket{+}=\ket{+}\) のように \(X\) について \(\ket{+}=(\ket{0}+\ket{1})/2\) は固有値 \(+1\) を持つ固有状態、つまり安定化されている。

ある種の量子状態を効率的に記述できる。参考: スタビライザーによる量子状態の記述

クリフォードゲート

スタビライザー状態→スタビライザー状態への写像。要は、スタビライザー状態であるパウリ演算子の組の中身を変えるということ

例１） \(H\) の場合。 \(Z\) に作用すると、 \(HZH^\dagger=X\) となる。実際、 \(Z\) で安定化される \(\ket{0}\) は \(H\) が作用すると \(\ket{+}\) となるが、これは \(X\) で安定化される。同様に、 \(X\) に作用すると、 \(HXH=Z\) となる。実際、 \(X\) で安定化される \(\ket{+}\) は \(H\) が作用すると \(\ket{0}\) となるが、これは \(Z\) で安定化される。

例２） \(\mathit{CNOT}\) の場合。 \(X\otimes I\) に作用すると、 \(\mathit{CNOT}(X\otimes I)\mathit{CNOT}^\dagger=X\otimes X\) となる。実際、 \(X\otimes I\) で安定化される \(\ket{+}(\alpha\ket{0}+\beta\ket{1})\) (\(|\alpha|^2+|\beta|^2=1\)) は \(\mathit{CNOT}\) が作用すると \(\ket{0}(\alpha\ket{0}+\beta\ket{1})/\sqrt{2}+\ket{1}(\beta\ket{0}+\alpha\ket{1})/\sqrt{2}\) となるが、これは \(X\otimes X\) で安定化される。同様に、 \(\mathit{CNOT}(I\otimes X)\mathit{CNOT}^\dagger=I\otimes X\), \(\mathit{CNOT}(Z\otimes I)\mathit{CNOT}^\dagger=Z\otimes I\), \(\mathit{CNOT}(I\otimes Z)\mathit{CNOT}^\dagger=Z\otimes Z\) が成り立つ。