スカラー，ベクトル，テンソルの相対論的不変性

#相対論 

昨日の機械学習ゼミでアインシュタインの縮約記法をようやく勉強できたので，場の量子論の本を少し進めることができた．ここでは不変性が大事であり，その中でもローレンツ変換に対する不変性を今回は取り上げる．

ローレンツ変換のパラメータを \({\varLambda^\mu}_\nu\) と表す．ここで，その逆変換 \({\left(\varLambda^{-1}\right)^\rho}_\mu\) を， \({\left(\varLambda^{-1}\right)^\rho}_\mu{\varLambda^\mu}_\nu={\delta^\rho}_\nu\) を満たすものとして定義する．

そして，スカラー，ベクトル，テンソルをそれぞれ以下に示す変換性で定義する．

$$ A\to A'=A $$

$$ \begin{align} \begin{cases} A^\mu &\to A'^\mu={\varLambda^\mu}_\nu A^\nu \\ A_\mu &\to A'_\mu=A_\nu{\left(\varLambda^{-1}\right)^\nu}_\mu \end{cases} \end{align} $$

$$ \begin{align} \begin{cases} A^{\mu\nu} &\to A'^{\mu\nu}={\varLambda^\mu}_\rho{\varLambda^\nu}_\lambda A^{\rho\lambda} \\ {A^\mu}_\nu &\to {A'^\mu}_\nu={\varLambda^\mu}_\rho{A^\rho}_\lambda{\left(\varLambda^{-1}\right)^\lambda}_\nu \\ A_{\mu\nu} &\to A'_{\mu\nu}=A_{\rho\lambda}{\left(\varLambda^{-1}\right)^\rho}_\mu{\left(\varLambda^{-1}\right)^\lambda}_\nu \end{cases} \end{align} $$

ここで，スカラー \(A=B\) ，ベクトル \(A^\mu=B^\mu\) ，テンソル \(A^{\mu\nu}=B^{\mu\nu}\) がそれぞれ成り立つとき，相対論的不変性として \(A'=B',\ A'^\mu=B'^\mu,\ A'^{\mu\nu}=B'^{\mu\nu}\) がそれぞれ成り立つ¹．これを以下に示す．

スカラー

\(A'=A,\ B'=B\) より， \(A'=B'\) ■

ベクトル

\(A'^\mu={\varLambda^\mu}_\nu A^\nu,\ B'^\mu={\varLambda^\mu}_\nu B^\nu\) より，

$$ \begin{align} A'^\mu-B'^\mu &= {\varLambda^\mu}_\nu\left(A^\nu-B^\nu\right) \\ &= 0 \\ A'^\mu&=B'^\mu \end{align} $$

テンソル

\(A'^{\mu\nu}={\varLambda^\mu}_\rho{\varLambda^\nu}_\lambda A^{\rho\lambda},\ B'^{\mu\nu}={\varLambda^\mu}_\rho{\varLambda^\nu}_\lambda B^{\rho\lambda}\) より，

$$ \begin{align} A'^{\mu\nu}-B'^{\mu\nu}&={\varLambda^\mu}_\rho{\varLambda^\nu}_\lambda\left(A^{\rho\lambda}-B^{\rho\lambda}\right) \\ &= 0 \\ A'^{\mu\nu}&=B'^{\mu\nu} \end{align} $$

以上．参考：場の量子論 不変性と自由場を中心にして の 1.7（まだまだ序盤）