Frauchiger-Rennerパラドックスについて

April 16, 2026, 2:14 p.m. edited May 4, 2026, 11:35 a.m.

#量子情報  #量子力学 

$$ \def\bra#1{\mathinner{\left\langle{#1}\right|}} \def\ket#1{\mathinner{\left|{#1}\right\rangle}} \def\braket#1#2{\mathinner{\left\langle{#1}\middle|#2\right\rangle}} $$

最近いろいろあって Frauchiger-Rennerパラドックスを知ったので、見ていく。論文はこれ： [Frauchiger and Renner, Nat. Comm., 2018]

聞いた概要としては、4人の人間を巻き込むとある実験をおこなうと、量子力学の複数の解釈に矛盾が発生してしまうというものらしい。どういうことなのか本稿で見ていく。

なお、現時点では思考実験であることははじめに記載しておく。だが、基本的な量子力学の原理に沿って記述できるものである。

実験内容

1. 登場人物は \(\bar{F}\), \(F\), \(\bar{W}\), \(W\) の4人。
2. \(\bar{F}\) はラボ \(\bar{L}\) のなかにおり、時刻 \(n\colon 00\)〜\(10\) の間に量子コイン \(r\) を測定する。量子コイン \(r\) の初期状態は \(\sqrt{\frac{1}{3}}\ket{\mathrm{heads}}+\sqrt{\frac{2}{3}}\ket{\mathrm{tails}}\) である。そして \(\mathrm{heads}\) が得られたら \(\ket{\downarrow}\) を、 \(\mathrm{tails}\) が得られたら \(\ket{\to}:=\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{\downarrow}+\ket{\uparrow})\) をスピン粒子 \(S\) にセットして、 \(F\) へ送る。
3. \(F\) はラボ \(L\) のなかにおり、送られてきたスピン粒子 \(S\) を時刻 \(n\colon 10\)〜\(20\) の間に測定する。
4. \(\bar{W}\) は外におり、時刻 \(n\colon 20\)〜\(30\) の間にラボ \(\bar{L}\) 全体を測定する。
5. \(W\) は外におり、時刻 \(n\colon 30\)〜\(40\) の間にラボ \(L\) 全体を測定する。

その様子を描くと以下の図のようになる。

（論文から引用）

状態を追う

それぞれの人物が得る状態を見ていく。

\(\bar{F}\) の得る状態

\(\bar{F}\) は量子コイン \(r\) (\(\sqrt{\frac{1}{3}}\ket{\mathrm{heads}}+\sqrt{\frac{2}{3}}\ket{\mathrm{tails}}\)) を投げるだけなので、確率 \(\frac{1}{3}\) で \(\mathrm{heads}\) (表)、確率 \(\frac{2}{3}\) で \(\mathrm{tails}\) (裏) を得るだけ。

\(F\) の得る状態

\(\bar{F}\) が量子コイン \(r\) の測定で何を得るかによって送られてくるスピン粒子 \(S\) の状態が変わるので、それに伴い得られる状態も変わりうる。\(r\) が \(\mathrm{heads}\) ならばスピン粒子 \(S\) は \(\ket{\uparrow}\) なので、確率 \(1\) で \(\downarrow\) が得られる。一方、 \(r\) が \(\mathrm{tails}\) ならばスピン粒子 \(S\) は \(\ket{\to}\) なので、確率 \(\frac{1}{2}\) で \(\uparrow\)、確率 \(\frac{1}{2}\) で \(\downarrow\) が得られる。

\(\bar{W}\) の得る状態

\(\bar{W}\) に着目する前に、まずラボ \(\bar{L}\), \(L\) 全体系の状態を追う。

\(\bar{F}\) が \(r\) を測定して \(\mathrm{heads}\) を得たという \(\bar{F}\) 自体を含めたラボ \(\bar{L}\) 全体の状態を \(\ket{h}\)、 \(\mathrm{tails}\) なら \(\ket{t}\) とする。すると、 \(F\) がスピン粒子 \(S\) を測定する直前の状態は

$$\sqrt{\frac{1}{3}}\ket{h}\otimes \ket{\downarrow} + \sqrt{\frac{2}{3}}\ket{t}\otimes \ket{\to}$$

と表される。このあとに \(F\) がスピン粒子 \(S\) を測定して \(\downarrow\) を得たという \(F\) 自体を含めたラボ \(L\) 全体の状態を \(\ket{-\frac{1}{2}}\)、 \(\uparrow\) なら \(\ket{+\frac{1}{2}}\) とする。すると、 \(F\) がスピン粒子を測定したあとの状態は

$$ \begin{align} &\sqrt{\frac{1}{3}}\ket{h}\otimes \ket{-\frac{1}{2}} + \sqrt{\frac{2}{3}}\ket{t}\otimes \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\ket{-\frac{1}{2}}+\ket{+\frac{1}{2}}\right) \\ =&\sqrt{\frac{1}{3}}\ket{h}\otimes \ket{-\frac{1}{2}} + \sqrt{\frac{1}{3}}\ket{t}\otimes \ket{-\frac{1}{2}} + \sqrt{\frac{1}{3}}\ket{t}\otimes \ket{+\frac{1}{2}} \tag{1} \end{align} $$

と3つの状態が等しい振幅で存在する状態となる。

さて、 \(\bar{W}\) はラボ \(\bar{L}\) を測定するが、その際の測定基底として

$$ \begin{align} \ket{\overline{\mathrm{ok}}}&=\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{h}+\ket{t}) \\ \ket{\overline{\mathrm{fail}}}&=\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{h}-\ket{t}) \end{align} $$

を用いる。逆に解いた

$$ \begin{align} \ket{h}&=\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{\overline{\mathrm{ok}}}+\ket{\overline{\mathrm{fail}}}) \\ \ket{t}&=\frac{1}{\sqrt{2}}(-\ket{\overline{\mathrm{ok}}}+\ket{\overline{\mathrm{fail}}}) \end{align} $$

を式 (1) に代入すると

$$ \begin{align} &\sqrt{\frac{2}{3}}\ket{\overline{\mathrm{fail}}}\otimes\ket{-\frac{1}{2}} + \sqrt{\frac{1}{6}}(-\ket{\overline{\mathrm{ok}}}+\ket{\overline{\mathrm{fail}}})\otimes\ket{+\frac{1}{2}} \\ =&-\sqrt{\frac{1}{6}}\ket{\overline{\mathrm{ok}}}\otimes\ket{+\frac{1}{2}} + \ket{\overline{\mathrm{fail}}}\otimes \left(\sqrt{\frac{2}{3}}\ket{-\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{1}{6}}\ket{+\frac{1}{2}}\right) \tag{2} \end{align} $$

これを \(\bar{W}\) が測定すると \(\frac{1}{6}\) の確率で \(\overline{\mathrm{ok}}\)、 \(\frac{5}{6}\) の確率で \(\overline{\mathrm{fail}}\) が得られる。

\(W\) の得る状態

\(W\) はラボ \(L\) を測定する。その際の測定基底としては

$$ \begin{align} \ket{\mathrm{ok}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\ket{-\frac{1}{2}}-\ket{+\frac{1}{2}}\right) \\ \ket{\mathrm{fail}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\ket{-\frac{1}{2}}+\ket{+\frac{1}{2}}\right) \end{align} $$

を用いる。先ほどと同じく逆に解いて

$$ \begin{align} \ket{-\frac{1}{2}}&=\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{\mathrm{ok}}+\ket{\mathrm{fail}}) \\ \ket{+\frac{1}{2}}&=\frac{1}{\sqrt{2}}(-\ket{\mathrm{ok}}+\ket{\mathrm{fail}}) \end{align} $$