シュレディンガー表現されたシュレディンガー方程式

Oct. 18, 2018, 2:16 a.m. edited Oct. 18, 2018, 2:34 a.m.

#量子力学 

$$ \def\bra#1{\mathinner{\left\langle{#1}\right|}} \def\ket#1{\mathinner{\left|{#1}\right\rangle}} \def\braket#1#2{\mathinner{\left\langle{#1}\middle|#2\right\rangle}} $$

2本の式 $$ \begin{align} E&=h\nu\tag{1} \\ p&=\frac{h}{\lambda}\tag{2} \end{align} $$ が既に認められているところから.また,波動の式 $$ \varPsi(x,\ t)=A\exp{2\pi i\left(\frac{x}{\lambda}-\nu t\right)}\tag{3} $$ を用いる.式(3)を\(t\)で偏微分すると, $$ \frac{\partial \varPsi}{\partial t}=-i(2\pi \nu)\varPsi\tag{4} $$ となる.ここに式(1)を代入して, $$ i\hbar\frac{\partial \varPsi}{\partial t}=E\varPsi\tag{5} $$ が得られる.ここで,解析力学においてエネルギーを表すハミルトニアン $$ E=H(p,\ x,\ t)\tag{6} $$ があるので,これを用いて式(5)は $$ i\hbar\frac{\partial \varPsi}{\partial t}=H\varPsi\tag{7} $$ と表される.これでシュレディンガー方程式が得られたとしたいが,運動量\(p\)を演算子で表したいので,もう少し続ける.

式(3)を今度は\(x\)で偏微分すると, $$ \frac{\partial \varPsi}{\partial x}=i\frac{2\pi}{\lambda}\varPsi\tag{8} $$ となる.ここに式(2)を代入して, $$ -i\hbar\frac{\partial \varPsi}{\partial x}=p\varPsi\tag{9} $$ が得られる.すると,運動量\(p\)に対応する演算子として\(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\)が得られたことになる1.ゆえに,運動量\(p\)をこれを用いて, $$ {\hat p}=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\tag{10} $$ で置き換えてハミルトニアンも $$ {\hat H}=H({\hat p},\ x,\ t)\tag{11} $$ とすることでシュレディンガー方程式は,式(7)より, $$ i\hbar\frac{\partial \varPsi}{\partial t}={\hat H}\varPsi\tag{12} $$ と得られる.

しかし,実はここで得られたシュレディンガー方程式はシュレディンガー方程式の中でもシュレディンガー表現されたシュレディンガー方程式なのである.


  1. 式(5)が得られたときにも同様にエネルギー\(E\)を表す演算子として\(i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\)が手に入っていた.