シュレディンガー表現されたシュレディンガー方程式

#量子力学 

2本の式 $$ \begin{align} E&=h\nu\tag{1} \\ p&=\frac{h}{\lambda}\tag{2} \end{align} $$ が既に認められているところから．また，波動の式 $$ \varPsi(x,\ t)=A\exp{2\pi i\left(\frac{x}{\lambda}-\nu t\right)}\tag{3} $$ を用いる．式(3)を\(t\)で偏微分すると， $$ \frac{\partial \varPsi}{\partial t}=-i(2\pi \nu)\varPsi\tag{4} $$ となる．ここに式(1)を代入して， $$ i\hbar\frac{\partial \varPsi}{\partial t}=E\varPsi\tag{5} $$ が得られる．ここで，解析力学においてエネルギーを表すハミルトニアン $$ E=H(p,\ x,\ t)\tag{6} $$ があるので，これを用いて式(5)は $$ i\hbar\frac{\partial \varPsi}{\partial t}=H\varPsi\tag{7} $$ と表される．これでシュレディンガー方程式が得られたとしたいが，運動量\(p\)を演算子で表したいので，もう少し続ける．

式(3)を今度は\(x\)で偏微分すると， $$ \frac{\partial \varPsi}{\partial x}=i\frac{2\pi}{\lambda}\varPsi\tag{8} $$ となる．ここに式(2)を代入して， $$ -i\hbar\frac{\partial \varPsi}{\partial x}=p\varPsi\tag{9} $$ が得られる．すると，運動量\(p\)に対応する演算子として\(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\)が得られたことになる¹．ゆえに，運動量\(p\)をこれを用いて， $$ {\hat p}=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\tag{10} $$ で置き換えてハミルトニアンも $$ {\hat H}=H({\hat p},\ x,\ t)\tag{11} $$ とすることでシュレディンガー方程式は，式(7)より， $$ i\hbar\frac{\partial \varPsi}{\partial t}={\hat H}\varPsi\tag{12} $$ と得られる．

しかし，実はここで得られたシュレディンガー方程式はシュレディンガー方程式の中でもシュレディンガー表現されたシュレディンガー方程式なのである．