sinx/sqrt(1-x^2) の積分が初等関数で表されないことを示したい

July 11, 2018, 9:22 a.m. edited Sept. 15, 2018, 4:48 p.m.

#数学 

$$ \def\bra#1{\mathinner{\left\langle{#1}\right|}} \def\ket#1{\mathinner{\left|{#1}\right\rangle}} \def\braket#1#2{\mathinner{\left\langle{#1}\middle|#2\right\rangle}} $$

脚注1を見てください(懇願)

\(\int{\frac{\sin{x}}{\sqrt{1-x^2}}}dx\) が初等関数で書けないことを証明する(ホンマか? したい,の間違いでは)

Liouville の定理 を用いる3

\(\sin{x} \equiv y_1,\ \cos{x} \equiv y_2,\ \sqrt{1-x^2} \equiv y_3\) とおくと,

$$ \begin{align} \frac{dy_1}{dx}&=\cos{x}=y_2 \in \mathbb{C}(x,\ y_1,\ y_2,\ y_3)\\ \frac{dy_2}{dx}&=-\sin{x}=-y_1 \in \mathbb{C}(x,\ y_1,\ y_2,\ y_3) \\ \frac{dy_3}{dx}&=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=-\frac{x}{y_3} \in \mathbb{C}(x,\ y_1,\ y_2,\ y_3) \end{align} $$

これを用いて,

$$F(x,\ y_1,\ y_2,\ y_3)\equiv\frac{\sin{x}}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{y_1}{y_3}$$

と定義する. Liouville の定理より,リンク先にあったように (i) と (ii) は同値であるので, (ii) が成り立たないことを示せば良い.

\(\mathbb{C}(x,\ y_1,\ y_2,\ y_3)\) に含まれる有理関数として,

$$ G(x,\ y_1,\ y_2,\ y_3)\equiv\frac{a_0 x+a_1 y_1+a_2 y_2+a_3 y_3}{b_0 x+b_1 y_1+b_2 y_2+b_3 y_3}\ \left(a_0,\ a_1,\ a_2,\ a_3,\ b_0,\ b_1,\ b_2,\ b_3 \in \mathbb{R}\right) $$

を考える.

$$ \frac{d}{dx}G(x,\ y_1,\ y_2,\ y_3)=\frac{\left(a_0+a_1 y_2-a_2 y_1-a_3\frac{x}{y_3}\right)\left(b_0 x+b_1 y_1+b_2 y_2+b_3 y_3\right)-\left(a_0 x+a_1 y_1+a_2 y_2+a_3 y_3\right)\left(b_0+b_1 y_2-b_2 y_1-b_3\frac{x}{y_3}\right)}{{\left(b_0 x+b_1 y_1+b_2 y_2+b_3 y_3\right)}^2} $$

(いやこんなのどうすんの???) \(F\) の \(\frac{1}{y_3}\) を作るために分母は \(y_3\) の項のみでなければならない(ホンマか? (2 回目)).すると,

$$ \frac{d}{dx}G(x,\ y_1,\ y_2,\ y_3)=\frac{1}{y_3^2}\left\{\left(a_0+a_1 y_2-a_2 y_1-a_3\frac{x}{y_3}\right)b_3 y_3+\left(a_0 x+a_1 y_1+a_2 y_2+a_3 y_3\right)b_3\frac{x}{y_3}\right\} $$

ここから, \(G\) で割っているものと割っていないもの(つまりリンク先における \(H\))を別々に考える.まず割っているものから.

$$ \frac{\frac{d}{dx}G}{G}=\frac{\frac{1}{y_3^2}\left\{\left(a_0+a_1 y_2-a_2 y_1-a_3\frac{x}{y_3}\right)b_3^2 y_3+\left(a_0 x+a_1 y_1+a_2 y_2+a_3 y_3\right)b_3^2\frac{x}{y_3}\right\}}{a_0 x+a_1 y_1+a_2 y_2+a_3 y_3} $$

これも(きっと)上と同じ理由で \(a_0=a_1=a_2=0\) でなければならないので,

$$ \frac{\frac{d}{dx}G}{G}=\frac{1}{a_3 y_3^2}\left(-a_3 b_3^2 x+a_3 b_3^2 x\right)=0 $$

ゆえに, \(G\) で割っているものは \(F\) に寄与しない.次に,割っていないものを考える.

$$ \frac{d}{dx}G=\frac{1}{y_3^2}\left\{\left(a_0+a_1 y_2-a_2 y_1-a_3\frac{x}{y_3}\right)b_3 y_3+\left(a_0 x+a_1 y_1+a_2 y_2+a_3 y_3\right)b_3\frac{x}{y_3}\right\} $$

分母が \(y_3\) になるためには \(b_3 y_3\) を活かさなければならないが,そのために \(a_0,\ a_1,\ a_2\) を残すと \(b_3\frac{x}{y_3}\) も残ってしまう.ゆえに,こちらも \(F\) には寄与できない.

よって, (ii) が成り立つことはない.したがって,これと同値である (i) は成り立たない,つまり, \(\int{\frac{\sin{x}}{\sqrt{1-x^2}}}dx\) は初等関数で書けない.

...数学徒の方々,ご教授ください.....


  1. 同じ学科の友人から,題にある積分が数学的に解けないかどうか教えてほしいと言われたのだ.しかし,私は別に数学徒ではないし,むしろ苦手な方である.それにもかかわらず,私にこの依頼が来てしまうほどうちの学科には数学が足りないのだ2 

  2. こんなことを書いておきながら,私は生物も非常に苦手である.どうしようもない...助けて 

  3. \(m\) は \(n\) の打ち間違いか? それと \(\mathbb{C}(x,\ y_1,\ ...,\ y_n)\) は \(x,\ y_1,\ ...,\ y_n\) で表される有理関数という認識で良いのだろうか?