sinx/sqrt(1-x^2) の積分が初等関数で表されないことを示したい

July 11, 2018, 9:22 a.m. edited Sept. 15, 2018, 4:48 p.m.

#数学 

$$ \def\bra#1{\mathinner{\left\langle{#1}\right|}} \def\ket#1{\mathinner{\left|{#1}\right\rangle}} \def\braket#1#2{\mathinner{\left\langle{#1}\middle|#2\right\rangle}} $$

脚注¹を見てください（懇願）

\(\int{\frac{\sin{x}}{\sqrt{1-x^2}}}dx\) が初等関数で書けないことを証明する（ホンマか？ したい，の間違いでは）

Liouville の定理 を用いる³．

\(\sin{x} \equiv y_1,\ \cos{x} \equiv y_2,\ \sqrt{1-x^2} \equiv y_3\) とおくと，

$$ \begin{align} \frac{dy_1}{dx}&=\cos{x}=y_2 \in \mathbb{C}(x,\ y_1,\ y_2,\ y_3)\\ \frac{dy_2}{dx}&=-\sin{x}=-y_1 \in \mathbb{C}(x,\ y_1,\ y_2,\ y_3) \\ \frac{dy_3}{dx}&=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=-\frac{x}{y_3} \in \mathbb{C}(x,\ y_1,\ y_2,\ y_3) \end{align} $$

これを用いて，

$$F(x,\ y_1,\ y_2,\ y_3)\equiv\frac{\sin{x}}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{y_1}{y_3}$$

と定義する． Liouville の定理より，リンク先にあったように (i) と (ii) は同値であるので， (ii) が成り立たないことを示せば良い．

\(\mathbb{C}(x,\ y_1,\ y_2,\ y_3)\) に含まれる有理関数として，

$$ G(x,\ y_1,\ y_2,\ y_3)\equiv\frac{a_0 x+a_1 y_1+a_2 y_2+a_3 y_3}{b_0 x+b_1 y_1+b_2 y_2+b_3 y_3}\ \left(a_0,\ a_1,\ a_2,\ a_3,\ b_0,\ b_1,\ b_2,\ b_3 \in \mathbb{R}\right) $$

を考える．

$$ \frac{d}{dx}G(x,\ y_1,\ y_2,\ y_3)=\frac{\left(a_0+a_1 y_2-a_2 y_1-a_3\frac{x}{y_3}\right)\left(b_0 x+b_1 y_1+b_2 y_2+b_3 y_3\right)-\left(a_0 x+a_1 y_1+a_2 y_2+a_3 y_3\right)\left(b_0+b_1 y_2-b_2 y_1-b_3\frac{x}{y_3}\right)}{{\left(b_0 x+b_1 y_1+b_2 y_2+b_3 y_3\right)}^2} $$

（いやこんなのどうすんの？？？） \(F\) の \(\frac{1}{y_3}\) を作るために分母は \(y_3\) の項のみでなければならない（ホンマか？ (2 回目)）．すると，

$$ \frac{d}{dx}G(x,\ y_1,\ y_2,\ y_3)=\frac{1}{y_3^2}\left\{\left(a_0+a_1 y_2-a_2 y_1-a_3\frac{x}{y_3}\right)b_3 y_3+\left(a_0 x+a_1 y_1+a_2 y_2+a_3 y_3\right)b_3\frac{x}{y_3}\right\} $$

ここから， \(G\) で割っているものと割っていないもの（つまりリンク先における \(H\)）を別々に考える．まず割っているものから．

$$ \frac{\frac{d}{dx}G}{G}=\frac{\frac{1}{y_3^2}\left\{\left(a_0+a_1 y_2-a_2 y_1-a_3\frac{x}{y_3}\right)b_3^2 y_3+\left(a_0 x+a_1 y_1+a_2 y_2+a_3 y_3\right)b_3^2\frac{x}{y_3}\right\}}{a_0 x+a_1 y_1+a_2 y_2+a_3 y_3} $$

これも（きっと）上と同じ理由で \(a_0=a_1=a_2=0\) でなければならないので，

$$ \frac{\frac{d}{dx}G}{G}=\frac{1}{a_3 y_3^2}\left(-a_3 b_3^2 x+a_3 b_3^2 x\right)=0 $$

ゆえに， \(G\) で割っているものは \(F\) に寄与しない．次に，割っていないものを考える．

$$ \frac{d}{dx}G=\frac{1}{y_3^2}\left\{\left(a_0+a_1 y_2-a_2 y_1-a_3\frac{x}{y_3}\right)b_3 y_3+\left(a_0 x+a_1 y_1+a_2 y_2+a_3 y_3\right)b_3\frac{x}{y_3}\right\} $$

分母が \(y_3\) になるためには \(b_3 y_3\) を活かさなければならないが，そのために \(a_0,\ a_1,\ a_2\) を残すと \(b_3\frac{x}{y_3}\) も残ってしまう．ゆえに，こちらも \(F\) には寄与できない．

よって， (ii) が成り立つことはない．したがって，これと同値である (i) は成り立たない，つまり， \(\int{\frac{\sin{x}}{\sqrt{1-x^2}}}dx\) は初等関数で書けない．

．．．数学徒の方々，ご教授ください．．．．．