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『「量子力学は間違っている」は間違っている』in「場の量子論不変性と自由場を中心にして」について

June 3, 2018, 4:02 p.m. edited Sept. 15, 2018, 4:49 p.m.

#量子力学

$$ \def\bra#1{\mathinner{\left\langle{#1}\right|}} \def\ket#1{\mathinner{\left|{#1}\right\rangle}} \def\braket#1#2{\mathinner{\left\langle{#1}\middle|#2\right\rangle}} $$

「場の量子論：不変性と自由場を中心にして」中にあるコラムにて，『「量子力学は間違っている」は間違っている』というものがある．ここでは交換関係にまつわるある矛盾を示し，読者にその原因を突き止めさせて正しい議論にするという形になっており，その答えは特に明記されていないので，チャレンジしてみた． $$ \def\bra#1{\mathinner{\left\langle{#1}\right|}} \def\ket#1{\mathinner{\left|{#1}\right\rangle}} \def\braket#1#2{\mathinner{\left\langle{#1}\middle|#2\right\rangle}} $$ まず，その内容を示す．座標演算子 $\hat{x}$ ，運動量演算子 $\hat{p}$ について交換関係
$$\left[\hat{x},\ \hat{p}\right]=i\hbar \tag{1}$$
が成り立つ． $\hat{p}$ の固有値 $k$ の固有状態 $\left|k\right\rangle$ を考えると，
$$\hat{p}\left|k\right\rangle=k\left|k\right\rangle,\ \left\langle k\right|\hat{p}=k\left\langle k\right| \tag{2}$$
が成り立つ（第 2 式は $\hat{p}$ がエルミートであることを用いた，とあるが確かに成り立つ）．
さて，式 (1) の両辺を $\left\langle k\right|$ と $\left|k\right\rangle$ で挟むと，式 (2) より，左辺は，
$$ \begin{align} \left\langle k\right|\left[\hat{x},\ \hat{p}\right]\left|k\right\rangle&=\left\langle k\right|\left(\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x}\right)\left|k\right\rangle \\ &=\left\langle k\right|\hat{x}\hat{p}\left|k\right\rangle-\left\langle k\right|\hat{p}\hat{x}\left|k\right\rangle \\ &=k\left\langle k\right|\hat{x}\left|k\right\rangle-k\left\langle k\right|\hat{x}\left|k\right\rangle \\ &=0 \end{align} $$
一方，右辺は，
$$ \begin{align} \left\langle k\right|i\hbar\left|k\right\rangle&=i\hbar\left\langle k\middle|k\right\rangle \\ &\neq 0 \end{align} $$
となり，左辺$\neq$右辺となるので矛盾する．

これは大変だ．量子力学崩壊だわ．．．

．．．．．．．．ホンマか？？？？？

ここからが読者チャレンジ．まず， $\hat{x},\ \hat{p}$ はともに連続固有値を持っているので， $\braket{k}{k}=\delta(0)=\infty$ としてしまいそうになるが，デルタ関数は積分して用いないといけないので，右辺で用いた扱い方はしてはならない．これで論破したので，この交換関係は正しいとしてさらに続けてみようと思う．

それでは， $\bra{k}$ と $\ket{k}$ ではなく，これも含んだ $\bra{k}$ と $\ket{k'}$ で囲むことを考える．すると左辺は，
$$ \begin{align} \bra{k}\left[\hat{x},\ \hat{p}\right]\ket{k'}&=k'\bra{k}\hat{x}\ket{k'}-k\bra{k}\hat{x}\ket{k'} \\ &=\left(k'-k\right)\bra{k}\hat{x}\ket{k'} \end{align} $$
右辺は，デルタ関数の公式 $k\frac{\partial \delta{k}}{\partial k}=-\delta(k)$ より，
$$ \begin{align} \bra{k}i\hbar\ket{k'}&=i\hbar\delta\left(k-k'\right) \\ &=-i\hbar\left(k-k'\right)\frac{\partial \delta\left(k-k'\right)}{\partial k} \\ &=i\hbar\left(k'-k\right)\frac{\partial \delta\left(k-k'\right)}{\partial k} \end{align} $$
ゆえに，左辺と右辺を比較して，
$$ \begin{align} \bra{k}\hat{x}\ket{k'}&=i\hbar\frac{\partial \delta\left(k-k'\right)}{\partial k} \end{align} $$
両辺に右から $\bra{k'}$ を掛けて，両辺を $k'$ で積分すると，
$$ \begin{align} \int dk'\bra{k}\hat{x}\ket{k'}\bra{k'}&=i\hbar\int dk'\frac{\partial \delta\left(k-k'\right)} {\partial k}\bra{k'} \\ &=i\hbar\int dk'\bra{k'}\frac{\partial \delta\left(k-k'\right)} {\partial k} \\ \bra{k}\hat{x}&=i\hbar\bra{k}\frac{\partial}{\partial k} \end{align} $$
したがって，

$$\hat{x}=i\hbar\frac{\partial}{\partial k}$$

こうして座標演算子を運動量表示できた．長かった．．．

参考にしたもの