トーラス上の周期的運動と準周期的運動

#Unity  #シミュレーション  #数学 

「カオス -自然の乱れ方-」を読んでいたときに，有名なトーラスの話が出てきました．トーラスには円周方向と芯に沿った方向の 2 つがあり，それぞれを回るときの周波数の比（有理数・無理数）に応じて，全体における運動が周期的な場合と準周期的（それでもカオスではないらしい）な運動に分かれる，というものです．この話は生命情報学科の授業でも聴いたことがあり知っていたのですが，なぜそうなるのかは知りませんでした（雰囲気では確かにそうなりそうですが）．

シミュレーション

そこで，まずはシミュレーションをしてみました．2 次元トーラスでも 3D グラフィックスが必要になるので，こういうときにやはり Unity は便利ですね（酔いそうな完成動画）．

動画では \(\omega_1:\omega_2=1:2\) （有理数比）の場合と， \(\omega_1:\omega_2=1:\sqrt{2}\) （無理数比）の場合をシミュレートしました．
しかし，シミュレーションでできるのはあくまで 1 つ（今回は有理数比の場合と無理数比の場合で 1 つずつ）のパラメータのときの話だけなので，証明にはなりません．

つよい人に相談する

考えてもわからず，ググっても出てこず，日が暮れてしまいそうだったので，twitter で助けを求めました．すると，

それはただのクロネッカーの稠密定理ではなく？？？

— UMU (@UMU____) 2018年1月3日

と教えてくださったので，さっそくこれを使って証明をしてみました．

証明

トーラスの芯に沿った方向に \(x\) 軸を，円周方向に \(y\) 軸をとる．そして，芯に沿った方向の角周波数を \(\omega_1\) ，周期を \(T_1\) ，円周方向のそれぞれを \(\omega_2, T_2\) とおく．ここで，1 周の角度を \(2\pi\) から 1 にして定理を適用しやすくしたいので，
$$\omega_1 T_1 = 2\pi$$
$$\omega'_1 T_1 = 1$$
とした．
\(n\) を自然数， \(t\) を時間とすると，
$$\omega'_1 t=x+n-1$$
と表されるので，これを変形して，
$$t=\frac{x+n-1}{\omega'_1} \tag{1}$$
ここで， \(\{X\}\) を \(X\) の小数部分を返すものとすると，
$$y=\{\omega'_2 t\}$$
である．ここに式 \((1)\) の \(t\) を代入すると，
$$ \begin{align} y&=\left\{\frac{\omega'_2}{\omega'_1}(x+n-1)\right\} \\ &=\left\{\frac{\omega'_2}{\omega'_1}(x-1)+\frac{\omega'_2}{\omega'_1}n\right\} \end{align} $$
この \(x\) が \(0\leq x<1\) のいずれにおいても， \(y\) が \(0\leq y<1\) におけるすべての値をとれば良い．
ここで
$$y=\{y'\} \tag{2}$$
を満たすような \(y'\) を用いると，
$$ \begin{align} y' &= \frac{\omega'_2}{\omega'_1}(x-1)+\left\{\frac{\omega'_2}{\omega'_1}n\right\} \\ y'-\frac{\omega'_2}{\omega'_1}(x-1) &= \left\{\frac{\omega'_2}{\omega'_1}n\right\} \end{align} $$
\(\frac{\omega'_2}{\omega'_1}\) は無理数なので，クロネッカーの稠密定理より， \(y'-\frac{\omega'_2}{\omega'_1}(x-1)\) の \([0,1]\) はすべて稠密された．そして，
$$0\leq y'-\frac{\omega'_2}{\omega'_1}(x-1) \leq 1$$
$$\frac{\omega'_2}{\omega'_1}(x-1) \leq y' \leq 1+\frac{\omega'_2}{\omega'_1}(x-1)$$
ゆえに， \((2)\) より， \(y\) は \([0,1]\) を埋め尽くす．これは \(0\leq x<1\) におけるいずれの \(x\) についても成り立つので，したがって，トーラスの円周方向と芯に沿った方向それぞれを回る周波数の比が無理数のときは，その運動はトーラスを埋め尽くす．

最後に

証明に間違いありましたら，教えていただけるとありがたいです．

（等号揃えしたかったが，マークダウンと競合してうまくできなかった…）
↑鍵アカウントからなので貼れませんが，eqnarray の代わりに教えていただいた align を使ったところうまくいきました．ありがとうございます．